\documentclass{article}
\usepackage{mathtools} 
\usepackage{fontspec}
\usepackage[UTF8]{ctex}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mdframed}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}


% 定义新的带灰色背景的说明环境 zremark
\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  % 边框与背景一致，边框线会消失
  linecolor=gray!10
]{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{14.4 习题}
\author{张志聪}
\maketitle

\section*{14.4.1}

按度量空间的定义（定义12.1.2），我们需证明$d_{B(X \to Y)}$满足下面四个公理：

\begin{itemize}
  \item (a) 对任意的$f \in B(X \to Y)$，我们有$d_{B(X \to Y)}(f, f) = 0$。

        由定义14.4.2可知，$d_{B(X \to Y)}(f, f) = sup\{d_Y(f(x), f(x)): x \in X\}$，
        因为任意$x \in X, d_Y(f(x), f(x)) = 0$，
        所以$sup\{d_Y(f(x), f(x)): x \in X\} = sup\{0\} = 0$，即$d_{B(X \to Y)}(f, f) = 0$

  \item (b) （正性）对任意两个不同的$f, g \in B(X \to Y)$，我们有$d_{B(X \to Y)}(f, g) > 0$。

        因为$f \neq g$，那么，存在$x_0 \in X$使得$f(x_0) \neq g(x_0)$，
        于是$d_Y(f(x_0), g(x_0)) > 0$，
        所以$sup\{d_Y(f(x), g(x)): x \in X\} > 0$，
        即$d_{B(X \to Y)}(f, g) > 0$

  \item (c)（对称性）对任意的$f, g \in B(X \to Y)$，我们有$d_{B(X \to Y)}(f, g) = d_{B(X \to Y)}(g, f)$

        由定义14.4.2可知，
        \begin{align*}
          d_{B(X \to Y)}(f, g) = sup\{d_Y(f(x), g(x)): x \in X\} \\
          d_{B(X \to Y)}(g, f) = sup\{d_Y(g(x), f(x)): x \in X\}
        \end{align*}

        令
        \begin{align*}
          A := \{d_Y(f(x), g(x)): x \in X\} \\
          B := \{d_Y(g(x), f(x)): x \in X\}
        \end{align*}
        容易证明$A = B$，所以$sup A = sup B$，
        即$d_{B(X \to Y)}(f, g) = d_{B(X \to Y)}(g, f)$

  \item (d) （三角不等式）对任意的$f, g, h \in B(X \to Y)$，
        我们有$d_{B(X \to Y)}(f, h) \leq d_{B(X \to Y)}(f, g) + d_{B(X \to Y)}(g, h)$。

        由定义14.4.2可知，我们需证明：
        \begin{align*}
          sup\{d_Y(f(x), h(x)): x \in X\} \leq sup\{d_Y(f(x), g(x)): x \in X\} + sup\{d_Y(g(x), h(x)): x \in X\}
        \end{align*}

        令
        \begin{align*}
          A := \{d_Y(f(x), h(x)): x \in X\} \\
          B := \{d_Y(f(x), g(x)): x \in X\} \\
          C := \{d_Y(g(x), h(x)): x \in X\}
        \end{align*}

        任意$a_0 \in A$，存在$x \in X$使得
        \begin{align*}
          a_0 = d_Y(f(x), h(x))
        \end{align*}
        我们有
        \begin{align*}
          d_Y(f(x), h(x)) \leq d_Y(f(x), g(x)) + d_Y(g(x), h(x))
        \end{align*}
        又因为
        \begin{align*}
          d_Y(f(x), g(x)) \in B \\
          d_Y(g(x), h(x)) \in C
        \end{align*}
        综上可得，$sup A \leq sup B + sup C$，命题得证。

        \begin{zremark}
          $sup A \leq sup B + sup C$这个结论可用反证法证明，
          假设$sup A > sup B + sup C$，那么存在$a \in A$使得$sup A > a > sup B + sup C$，
          因为$a \in A$，所有存在$x \in X$使得
          \begin{align*}
            a = d_Y(f(x^\prime), h(x^\prime))
          \end{align*}
          由上面的讨论可知，存在$b \in B, c \in C$使得
          \begin{align*}
            a \leq b + c
          \end{align*}
          这会导致以下矛盾
          \begin{align*}
            b + c > sup B + sup C
          \end{align*}
        \end{zremark}
\end{itemize}

\section*{14.4.2}

\begin{itemize}
  \item $\Rightarrow$

        对任意的$\epsilon > 0$，
        因为$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$是依度量$d_{B(X \to Y)}$收敛于$f$，
        所以存在$N \geq 1$，使得只要$n \geq N$，就有
        \begin{align*}
          d_{B(X \to Y)}(f^{(n)}, f) < \epsilon
        \end{align*}
        即
        \begin{align*}
          sup\{d_Y(f^{(n)}(x), f(x)) : x \in X\} < \epsilon
        \end{align*}
        综上可得，对任意$\epsilon > 0$，存在$N \geq 1$，使得只要$n \geq N$和$x \in X$，就有
        \begin{align*}
          d_Y(f^{(n)}(x), f(x)) < \epsilon
        \end{align*}
        所以，$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$一致收敛于$f$。

  \item $\Leftarrow$

        对任意$\epsilon > 0$，
        因为$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$一致收敛于$f$，
        所以存在$N \geq 1$，使得只要$n \geq N$和$x \in X$，就有
        \begin{align*}
          d_Y(f^{(n)}(x), f(x)) < \epsilon
        \end{align*}
        对每一个$n$，令
        \begin{align*}
          A_n := \{d_Y(f^{(n)}(x), f(x)): x \in X\}
        \end{align*}
        由于$A_n$是实数集合，且存在上界$\epsilon$，所以其上确界小于$\epsilon$，
        即$sup A_n < \epsilon$。

        综上可得，对任意$\epsilon > 0$，存在$N \geq 1$，使得只要$n \geq N$，就有
        \begin{align*}
          d_{B(X \to Y)}(f^{(n)}, f) < \epsilon
        \end{align*}
        所以，$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$是依度量$d_{B(X \to Y)}$收敛于$f$。

\end{itemize}

\section*{14.4.3}

设$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$是$C(X \to Y)$中的柯西函数序列，
对任意$\epsilon > 0$，存在$N > 0$，使得只要$p, q \geq N$，就有
\begin{align*}
  d_{B(X \to Y)}(f^{(p)}, f^{(q)}) = \sup\{d_Y(f^{(p)}(x), f^{(q)}(x)): x \in X\} < \epsilon
\end{align*}

对任意$x \in X$，构造序列$(f^{(n)}(x))_{n = 1}^\infty$，因为对$p,q \geq N$我们有
\begin{align*}
  d_Y(f^{(p)}(x), f^{(q)}(x)) \leq d_{B(X \to Y)}(f^{(p)}, f^{(q)}) < \epsilon
\end{align*}

由此可知，$(f^{(n)}(x))_{n = 1}^\infty$是柯西序列，由题设$(Y,d_Y)$是一个完备的度量空间可得，
$(f^{(n)}(x))_{n = 1}^\infty$收敛，不妨设为$y_x$。

定义函数$f : X \to Y, f(x) = y_x = \lim\limits_{n \to \infty}f^{(n)}(x), x \in X$。
接下来我们证明$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$收敛于$f$。

任意$x \in X$，因为$f(x) = \lim\limits_{n \to \infty}f^{(n)}(x)$，那么，存在$N^\prime > 0$，
使得只要$k \geq N^\prime$，就有
\begin{align*}
  d_Y(f^{(k)}(x), f(x)) < \epsilon
\end{align*}
综上，$n > N, k > max(N, N^\prime)$我们有
\begin{align*}
  d_Y(f^{(n)}(x) ,f(x)) \leq d_Y(f^{(n)}(x), f^{(k)}(x)) + d_Y(f^{(k)}(x), f(x)) < 2\epsilon
\end{align*}
即：
\begin{align*}
  d_Y(f^{(n)}(x) ,f(x)) < 2\epsilon
\end{align*}
（注意：以上说明了，不管$x$取什么值，都会可以找到一个上界。）

由$x$的任意性可得，对任意$n > N, x \in X$都有
\begin{align*}
  d_{B(X \to Y)|C(X \to Y) \times C(X \to Y)}(f^{(n)}, f) < 2\epsilon 
\end{align*}

于是可得$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$一致收敛于$f$，由命题14.4.4可知，
$(f^{(n)})_{n = 1}^\infty$收敛于$f$。

又因为$C(X \to Y)$是闭的，所以$f \in C(X \to Y)$。

\section*{14.4.4}

关于拓扑的习题，都忽略。


\end{document}